• 7 Докажите тождество \( \frac{y(x + y)^2}{x^4 - y^4} + \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x - y} \)

Решение:

Начнём с преобразования левой части тождества.

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) дважды: \( x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) \).
2. Приведём первую дробь к общему знаменателю \( (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) \) (который равен \( x^4 - y^4 \)): \( \frac{y(x + y)^2}{(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)} \).
3. Вторую дробь \( \frac{x}{x^2 + y^2} \) также приведём к общему знаменателю \( (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) \). Для этого числитель и знаменатель умножим на \( (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 \): \( \frac{x(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)} = \frac{x(x^2 - y^2)}{x^4 - y^4} \).
4. Теперь сложим обе дроби:

Левая часть:

\[ \frac{y(x + y)^2}{x^4 - y^4} + \frac{x(x^2 - y^2)}{x^4 - y^4} = \frac{y(x^2 + 2xy + y^2) + x^3 - xy^2}{x^4 - y^4} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{yx^2 + 2xy^2 + y^3 + x^3 - xy^2}{x^4 - y^4} = \frac{x^3 + y^3 + yx^2 + xy^2}{x^4 - y^4} \]

Сгруппируем члены в числителе:

\[ \frac{(x^3 + y^3) + xy(x + y)}{x^4 - y^4} \]

Используем формулу суммы кубов \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \):

\[ \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2) + xy(x + y)}{x^4 - y^4} = \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2 + xy)}{x^4 - y^4} = \frac{(x+y)(x^2 + y^2)}{x^4 - y^4} \]

Теперь подставим разложение знаменателя \( x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+y^2) \):

\[ \frac{(x+y)(x^2 + y^2)}{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)} \]

Сократим общие множители \( (x+y) \) и \( (x^2 + y^2) \):

\[ \frac{1}{x-y} \]

Таким образом, левая часть тождества равна правой части.

Тождество доказано.