• 8 Определите, пересекает ли график функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 - 9 \) ось х, и если пересекает, то в каких точках.

Решение:

Чтобы определить, пересекает ли график функции ось \( x \), нужно найти значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \).

Приравняем функцию к нулю:

\[ x^4 - 8x^2 - 9 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = x^2 \), тогда \( t^2 = x^4 \). Уравнение примет вид:

\[ t^2 - 8t - 9 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдём дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100 \]

Найдём корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \]

\[ t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{8 - 10}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( t = x^2 \):

1. Для \( t_1 = 9 \): \( x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm \sqrt{9} \Rightarrow x = \pm 3 \).
2. Для \( t_2 = -1 \): \( x^2 = -1 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, график функции пересекает ось \( x \) в точках, где \( x = 3 \) и \( x = -3 \).

Ответ: График функции пересекает ось \( x \) в точках \( x = 3 \) и \( x = -3 \).