1. а) Постройте график функции y = x^2 - 2x - 3. б) Укажите промежуток, в котором функция возрастает.

Решение:

Функция \( y = x^2 - 2x - 3 \) — квадратичная, её график — парабола.

1. Построение графика:

1. Найдем вершину параболы: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1 \). \( y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \). Вершина в точке (1; -4).
2. Найдем точки пересечения с осью Ox: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \). \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \). \( x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \). Точки пересечения: (-1; 0) и (3; 0).
3. Найдем точку пересечения с осью Oy: при \( x = 0 \), \( y = -3 \). Точка пересечения: (0; -3).

2. Промежуток возрастания:

Парабола с ветвями, направленными вверх (так как \( a = 1 > 0 \)), возрастает при \( x \) больших или равных координате вершины по оси x.

Ответ: а) График — парабола с вершиной в точке (1; -4), пересекающая оси в точках (-1; 0), (3; 0), (0; -3). б) Функция возрастает на промежутке \( [1; +\infty) \).