5. Геометрическая прогрессия задана условиями b_1 = -7, b_3 = 3b_2. Найдите сумму первых пяти её членов.

Решение:

Дано: \( b_1 = -7 \), \( b_3 = 3b_2 \). Найти \( S_5 \).

В геометрической прогрессии \( b_n = b_1 q^{n-1} \).

1. Запишем \( b_3 \) и \( b_2 \) через \( b_1 \) и \( q \): \( b_2 = b_1 q = -7q \), \( b_3 = b_1 q^2 = -7q^2 \).
2. Подставим в данное условие: \( -7q^2 = 3(-7q) \).
3. Решим уравнение относительно \( q \): \( -7q^2 = -21q \).
4. \( -7q^2 + 21q = 0 \)
5. \( -7q(q - 3) = 0 \).
6. Получаем два возможных значения для \( q \): \( q = 0 \) или \( q = 3 \).
7. Если \( q = 0 \), то \( b_2 = 0, b_3 = 0 \) и так далее. Все члены, начиная со второго, равны нулю. \( S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = -7 + 0 + 0 + 0 + 0 = -7 \).
8. Если \( q = 3 \), найдем \( S_5 \) по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \).
9. \( S_5 = \frac{-7(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{-7(243 - 1)}{2} = \frac{-7 \cdot 242}{2} = -7 \cdot 121 = -847 \).

Так как в условии не указано, что знаменатель не равен нулю, оба варианта верны.

Ответ: -7 или -847.