7. Решите уравнение \( x^2 - 2x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 3 \).

Решение:

Перенесем все члены с корнем в одну сторону:

\( x^2 - 2x = \sqrt{2-x} - \sqrt{2-x} + 3 \)

\( x^2 - 2x = 3 \)

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Найдем его корни.

1. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
2. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \).

Обязательно проверим, существуют ли корни \( \sqrt{2-x} \) для найденных значений \( x \).

Для \( x = 3 \): \( \sqrt{2-3} = \sqrt{-1} \) — не существует в действительных числах.

Для \( x = -1 \): \( \sqrt{2-(-1)} = \sqrt{3} \) — существует.

Следовательно, подходит только \( x = -1 \).

Ответ: -1.