6. Решите неравенство: \( \frac{3x^2 - 18x + 27}{x+7} \le 0 \).

Решение:

Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( 3x^2 - 18x + 27 = 0 \). Разделим на 3: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \). Это квадрат суммы: \( (x-3)^2 = 0 \). Корень числителя: \( x = 3 \) (кратности 2).

Знаменатель: \( x+7 = 0 \). Корень знаменателя: \( x = -7 \).

Теперь построим числовую прямую и определим знаки дроби на интервалах:

На интервалах \( (-\infty; -7) \), \( (-7; 3) \), \( (3; +\infty) \).

• При \( x = -8 \) (интервал \( (-\infty; -7) \)): \( \frac{3(-8-3)^2}{-8+7} = \frac{3(-11)^2}{-1} = \frac{3 \cdot 121}{-1} < 0 \).
• При \( x = 0 \) (интервал \( (-7; 3) \)): \( \frac{3(0-3)^2}{0+7} = \frac{3(-3)^2}{7} = \frac{3 \cdot 9}{7} > 0 \).
• При \( x = 4 \) (интервал \( (3; +\infty) \)): \( \frac{3(4-3)^2}{4+7} = \frac{3(1)^2}{11} = \frac{3}{11} > 0 \).

Нам нужно, чтобы дробь была \( \le 0 \).

Значение \( x = -7 \) не входит в решение, так как знаменатель обращается в ноль.

Значение \( x = 3 \) входит в решение, так как числитель обращается в ноль, а дробь равна нулю.

Ответ: \( (-\infty; -7) \cup \{3\} \).