1. Диагональ куба равна \(\sqrt{75}\). Найдите его объем.

Решение:

Диагональ куба \( d \) связана с длиной его ребра \( a \) формулой \( d = a\sqrt{3} \).

Нам дана диагональ \( d = \sqrt{75} \). Найдем ребро куба:

\[ a\sqrt{3} = \sqrt{75} \]

\[ a = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 \]

Объем куба \( V \) вычисляется по формуле \( V = a^3 \).

\[ V = 5^3 = 125 \]

Ответ: 125.