10. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 14, сторона основания равна \(10\sqrt{2}\). Найдите объём пирамиды.

Решение:

Объем правильной четырёхугольной пирамиды \( V \) равен \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания:

Основание — квадрат со стороной \( a = 10\sqrt{2} \). Площадь квадрата \( S_{осн} = a^2 \).

\[ S_{осн} = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200 \]

2. Найдем высоту пирамиды:

В правильной четырёхугольной пирамиде высота \( h \) опускается из вершины \( S \) в центр основания \( O \). Центр квадрата — точка пересечения диагоналей. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \).

\[ d = (10\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 2 = 20 \]

Радиус описанной окружности (расстояние от центра до вершины квадрата) равен половине диагонали: \( AO = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle SAO \). По теореме Пифагора:

\[ SA^2 = SO^2 + AO^2 \]

\[ h^2 = SA^2 - AO^2 \]

Дано:

Боковое ребро \( SA = 14 \).

\[ h^2 = 14^2 - 10^2 = 196 - 100 = 96 \]

\[ h = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \]

3. Найдем объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 4\sqrt{6} = \frac{800\sqrt{6}}{3} \]

Ответ: \(\frac{800\sqrt{6}}{3}\).