9. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 3, а объем равен \(15\sqrt{3}\).

Решение:

Объем правильной треугольной пирамиды \( V \) равен \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 3 \). Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

\[ S_{осн} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \]

Дано:

Объем \( V = 15\sqrt{3} \).

Найдем высоту \( h \):

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]

\[ 15\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot h \]

\[ 15\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot h \]

\[ h = \frac{15\sqrt{3} \cdot 4}{3\sqrt{3}} = \frac{15 \cdot 4}{3} = 5 \cdot 4 = 20 \]

Ответ: 20.