11. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а высота равна \(2\sqrt{3}\).

Решение:

Объем правильной треугольной пирамиды \( V \) равен \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания:

Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 5 \). Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

\[ S_{осн} = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \]

2. Найдем объем пирамиды:

Дано:

Высота \( h = 2\sqrt{3} \).

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} \cdot 2\sqrt{3} \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{25 \cdot 2 \cdot 3}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{150}{4} = \frac{150}{12} = \frac{25}{2} = 12,5 \]

Ответ: 12,5.