5. Найдите объем параллелепипеда, если его основание имеет стороны \(\sqrt{8}\) и 10, угол между ними 45°, а боковое ребро имеет длину \(2\sqrt{3}\) и образует с плоскостью основания угол 60°.

Решение:

Объем параллелепипеда \( V \) равен произведению площади основания \( S_{осн} \) на высоту \( h \): \( V = S_{осн} \cdot h \).

1. Найдем площадь основания:

Основание — параллелограмм. Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними:

\[ S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \]

Дано:

Стороны основания \( a = \sqrt{8} \) и \( b = 10 \).

Угол между ними \( \alpha = 45^{\circ} \).

\[ S_{осн} = \sqrt{8} \cdot 10 \cdot \sin(45^{\circ}) = \sqrt{8} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ S_{осн} = 2\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \cdot \frac{2}{2} = 20 \]

2. Найдем высоту параллелепипеда:

Боковое ребро \( L = 2\sqrt{3} \) образует с плоскостью основания угол \( \beta = 60^{\circ} \). Высота \( h \) параллелепипеда является катетом прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это боковое ребро \( L \), а прилежащий к углу \( \beta \) катет — проекция бокового ребра на основание. Тогда:

\[ h = L \cdot \sin(\beta) \]

\[ h = 2\sqrt{3} \cdot \sin(60^{\circ}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \]

3. Найдем объем параллелепипеда:

\[ V = S_{осн} \cdot h = 20 \cdot 3 = 60 \]

Ответ: 60.