1. Найдите наименьшее значение функции y = log4 (x²+6x+25) -5.

Решение:

Функция \( y = \log_4(x^2 + 6x + 25) - 5 \) определена, когда аргумент логарифма положителен: \( x^2 + 6x + 25 > 0 \). Дискриминант этого квадратного трёхчлена \( D = 6^2 - 4 · 1 · 25 = 36 - 100 = -64 \). Так как \( D < 0 \) и старший коэффициент \( a=1 > 0 \), то \( x^2 + 6x + 25 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Наименьшее значение аргумента логарифма \( x^2 + 6x + 25 \) достигается в вершине параболы \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \).

Минимальное значение аргумента логарифма равно \( (-3)^2 + 6(-3) + 25 = 9 - 18 + 25 = 16 \).

Функция \( y = \log_4(t) \) возрастает, поэтому наименьшее значение функции \( y \) достигается при наименьшем значении \( t = x^2 + 6x + 25 \).

Наименьшее значение функции: \( y_{min} = \log_4(16) - 5 = 2 - 5 = -3 \).

Ответ: -3