2. Найдите точку минимума функции у = X / (X²+225).

Решение:

Для нахождения точки минимума найдём производную функции \( y = \frac{x}{x^2 + 225} \) и приравняем её к нулю.

Используем формулу производной частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = x \), \( u' = 1 \), \( v = x^2 + 225 \), \( v' = 2x \).

\( y' = \frac{1 · (x^2 + 225) - x · 2x}{(x^2 + 225)^2} = \frac{x^2 + 225 - 2x^2}{(x^2 + 225)^2} = \frac{225 - x^2}{(x^2 + 225)^2} \).

Приравниваем производную к нулю:

\( \frac{225 - x^2}{(x^2 + 225)^2} = 0 \).

Числитель должен быть равен нулю: \( 225 - x^2 = 0 \), откуда \( x^2 = 225 \), значит \( x = \pm 15 \).

Теперь определим, какая из этих точек является точкой минимума. Исследуем знак производной:

• При \( x < -15 \), например \( x = -20 \), \( y' = \frac{225 - (-20)^2}{((-20)^2 + 225)^2} = \frac{225 - 400}{(400 + 225)^2} < 0 \) (функция убывает).
• При \( -15 < x < 15 \), например \( x = 0 \), \( y' = \frac{225 - 0^2}{(0^2 + 225)^2} = \frac{225}{225^2} > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 15 \), например \( x = 20 \), \( y' = \frac{225 - 20^2}{(20^2 + 225)^2} = \frac{225 - 400}{(400 + 225)^2} < 0 \) (функция убывает).

Следовательно, при \( x = -15 \) функция имеет минимум, а при \( x = 15 \) — максимум.

Ответ: -15