8. Найдите наибольшее значение функции у = √32+14x-x².

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sqrt{32+14x-x^2} \) достаточно найти наибольшее значение подкоренного выражения \( f(x) = 32+14x-x^2 \), так как функция \( \sqrt{t} \) возрастает.

\( f(x) = -x^2 + 14x + 32 \) — это парабола ветвями вниз. Наибольшее значение она принимает в вершине.

Найдем координату вершины по оси x:

\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{14}{2(-1)} = -\frac{14}{-2} = 7 \).

Вычислим значение функции \( f(x) \) в вершине:

\( f(7) = 32 + 14(7) - 7^2 = 32 + 98 - 49 = 130 - 49 = 81 \).

Наибольшее значение подкоренного выражения равно 81.

Теперь найдем наибольшее значение исходной функции \( y \):

\( y_{max} = \sqrt{81} = 9 \).

Ответ: 9