9. Найдите точку минимума функции у = x³ – 27x² + 15.

Решение:

Найдем производную функции \( y = x^3 - 27x^2 + 15 \).

\( y' = 3x^2 - 54x \).

Приравняем производную к нулю:

\( 3x^2 - 54x = 0 \).

Вынесем \( 3x \) за скобки:

\( 3x(x - 18) = 0 \).

Корни уравнения: \( 3x = 0 \) или \( x - 18 = 0 \).

\( x = 0 \) или \( x = 18 \).

Исследуем знак производной:

• При \( x < 0 \), например \( x = -1 \): \( y' = 3(-1)^2 - 54(-1) = 3 + 54 = 57 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < 18 \), например \( x = 1 \): \( y' = 3(1)^2 - 54(1) = 3 - 54 = -51 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 18 \), например \( x = 19 \): \( y' = 3(19)^2 - 54(19) = 57 · 19 - 54 · 19 = (57-54) · 19 = 3 · 19 = 57 > 0 \) (функция возрастает).

Следовательно, при \( x = 0 \) функция имеет максимум, а при \( x = 18 \) — минимум.

Ответ: 18