7. Найдите точку максимума функции у = ln(x-6) -10x+12.

Решение:

Найдем производную функции \( y = \ln(x-6) - 10x + 12 \).

Область определения функции: \( x-6 > 0 \), то есть \( x > 6 \).

\( y' = \frac{1}{x-6} · 1 - 10 + 0 = \frac{1}{x-6} - 10 \).

Приравняем производную к нулю:

\( \frac{1}{x-6} - 10 = 0 \).

\( \frac{1}{x-6} = 10 \).

\( 1 = 10(x-6) \).

\( 1 = 10x - 60 \).

\( 10x = 61 \).

\( x = 6.1 \).

Исследуем знак производной:

• Возьмём значение \( x \) такое, что \( 6 < x < 6.1 \), например \( x = 6.05 \): \( y' = \frac{1}{6.05-6} - 10 = \frac{1}{0.05} - 10 = 20 - 10 = 10 \). Производная положительна, функция возрастает.
• Возьмём значение \( x \) такое, что \( x > 6.1 \), например \( x = 7 \): \( y' = \frac{1}{7-6} - 10 = \frac{1}{1} - 10 = 1 - 10 = -9 \). Производная отрицательна, функция убывает.

Следовательно, при \( x = 6.1 \) функция имеет максимум.

Ответ: 6.1