3. Найдите точку минимума функции у = 4x - 4ln(x+7) +6.

Решение:

Найдем производную функции \( y = 4x - 4\ln(x+7) + 6 \).

\( y' = (4x)' - (4\ln(x+7))' + (6)' \).

\( y' = 4 - 4 · \frac{1}{x+7} · 1 + 0 = 4 - \frac{4}{x+7} \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 4 - \frac{4}{x+7} = 0 \).

\( 4 = \frac{4}{x+7} \).

\( x+7 = 1 \).

\( x = 1 - 7 = -6 \).

Теперь исследуем знак производной в окрестности точки \( x = -6 \). Область определения функции: \( x+7 > 0 \), то есть \( x > -7 \).

• Возьмём значение \( x \) такое, что \( -7 < x < -6 \), например \( x = -6.5 \): \( y' = 4 - \frac{4}{-6.5+7} = 4 - \frac{4}{0.5} = 4 - 8 = -4 \). Производная отрицательна, функция убывает.
• Возьмём значение \( x \) такое, что \( x > -6 \), например \( x = -5 \): \( y' = 4 - \frac{4}{-5+7} = 4 - \frac{4}{2} = 4 - 2 = 2 \). Производная положительна, функция возрастает.

Следовательно, при \( x = -6 \) функция имеет минимум.

Ответ: -6