5. Найдите наименьшее значение функции y = x³ + 12x² + 36x + 88 на отрезке [-5; -0,5].

Решение:

Найдем производную функции \( y = x^3 + 12x^2 + 36x + 88 \).

\( y' = 3x^2 + 24x + 36 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 + 24x + 36 = 0 \).

Разделим на 3:

\( x^2 + 8x + 12 = 0 \).

Найдем корни квадратного уравнения:

\( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16 \).

\( \sqrt{D} = 4 \).

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \).

Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = -6 \).

Рассмотрим отрезок \( [-5; -0.5] \). В этот отрезок попадает только одна критическая точка: \( x = -2 \).

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попадающей на отрезок:

• При \( x = -5 \): \( y = (-5)^3 + 12(-5)^2 + 36(-5) + 88 = -125 + 12(25) - 180 + 88 = -125 + 300 - 180 + 88 = 83 \).
• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^3 + 12(-2)^2 + 36(-2) + 88 = -8 + 12(4) - 72 + 88 = -8 + 48 - 72 + 88 = 56 \).
• При \( x = -0.5 \): \( y = (-0.5)^3 + 12(-0.5)^2 + 36(-0.5) + 88 = -0.125 + 12(0.25) - 18 + 88 = -0.125 + 3 - 18 + 88 = 72.875 \).

Сравнивая полученные значения, находим наименьшее.

Ответ: 56