4. Найдите точку минимума функции у = (х+16)ех-16.

Решение:

Найдем производную функции \( y = (x+16)e^{x-16} \).

Используем правило производной произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x+16 \), тогда \( u' = 1 \).

Пусть \( v = e^{x-16} \), тогда \( v' = e^{x-16} · (x-16)' = e^{x-16} · 1 = e^{x-16} \).

\( y' = 1 · e^{x-16} + (x+16) · e^{x-16} \).

Вынесем \( e^{x-16} \) за скобки:

\( y' = e^{x-16}(1 + x + 16) = e^{x-16}(x + 17) \).

Приравняем производную к нулю:

\( e^{x-16}(x + 17) = 0 \).

Так как \( e^{x-16} \) всегда больше нуля, то \( x + 17 = 0 \).

\( x = -17 \).

Исследуем знак производной:

• При \( x < -17 \), например \( x = -18 \), \( y' = e^{-18-16}(-18+17) = e^{-34}(-1) < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > -17 \), например \( x = -16 \), \( y' = e^{-16-16}(-16+17) = e^{-32}(1) > 0 \) (функция возрастает).

Следовательно, при \( x = -17 \) функция имеет минимум.

Ответ: -17