10. Найдите точку максимума функции у = (2x - 3) cosx - 2sinx + 18, принадлежащую промежутку (0; π/2).

Решение:

Найдем производную функции \( y = (2x-3)\cos(x) - 2\sin(x) + 18 \).

Используем правило производной произведения для первого слагаемого \( (2x-3)\cos(x) \): \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = 2x-3 \), тогда \( u' = 2 \).

Пусть \( v = \cos(x) \), тогда \( v' = -\sin(x) \).

Производная первого слагаемого: \( 2\cos(x) + (2x-3)(-\sin(x)) = 2\cos(x) - (2x-3)\sin(x) \).

Производная второго слагаемого \( -2\sin(x) \) равна \( -2\cos(x) \).

Производная константы 18 равна 0.

Итак, производная функции \( y \):

\( y' = (2\cos(x) - (2x-3)\sin(x)) - 2\cos(x) \).

\( y' = 2\cos(x) - 2x\sin(x) + 3\sin(x) - 2\cos(x) \).

\( y' = -2x\sin(x) + 3\sin(x) = \sin(x)(3 - 2x) \).

Приравняем производную к нулю:

\( \sin(x)(3 - 2x) = 0 \).

Это уравнение имеет решения, когда \( \sin(x) = 0 \) или \( 3 - 2x = 0 \).

1. \( \sin(x) = 0 \). На промежутке \( (0; \frac{\pi}{2}) \) функция \( \sin(x) \) не равна нулю. \( \sin(x) > 0 \).

2. \( 3 - 2x = 0 \) \( \Rightarrow 2x = 3 \) \( \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5 \).

Проверим, входит ли \( x = 1.5 \) в промежуток \( (0; \frac{\pi}{2}) \). Значение \( \frac{\pi}{2} \) приблизительно равно \( \frac{3.14}{2} = 1.57 \).

Значит, \( x = 1.5 \) принадлежит промежутку \( (0; 1.57) \).

Исследуем знак производной \( y' = \sin(x)(3 - 2x) \) на промежутке \( (0; \frac{\pi}{2}) \).

На этом промежутке \( \sin(x) > 0 \).

• Рассмотрим \( x < 1.5 \) (например, \( x=1 \)): \( y' = \sin(1)(3 - 2(1)) = \sin(1)(1) > 0 \) (функция возрастает).
• Рассмотрим \( x > 1.5 \) (например, \( x=1.55 \)): \( y' = \sin(1.55)(3 - 2(1.55)) = \sin(1.55)(3 - 3.1) = \sin(1.55)(-0.1) < 0 \) (функция убывает).

Следовательно, при \( x = 1.5 \) функция имеет максимум.

Ответ: 1.5