6. Найдите наименьшее значение функции у = 4x - 4tgx + 12 на отрезке [-π/4; 0].

Решение:

Найдем производную функции \( y = 4x - 4\tan(x) + 12 \).

\( y' = (4x)' - (4\tan(x))' + (12)' \).

\( y' = 4 - 4 \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} + 0 = 4 - \frac{4}{\cos^2(x)} \).

Приравняем производную к нулю:

\( 4 - \frac{4}{\cos^2(x)} = 0 \).

\( 4 = \frac{4}{\cos^2(x)} \).

\( \cos^2(x) = 1 \).

\( \cos(x) = \pm 1 \).

На отрезке \( [-\frac{\pi}{4}; 0] \) значение \( \cos(x) \) равно 1 только при \( x = 0 \) (так как \( \cos(0) = 1 \)). Значение \( \cos(x) = -1 \) достигается при \( x = \pi \), который не входит в отрезок.

Следовательно, критическая точка только одна: \( x = 0 \).

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• При \( x = -\frac{\pi}{4} \): \( y = 4(-\frac{\pi}{4}) - 4\tan(-\frac{\pi}{4}) + 12 = -\pi - 4(-1) + 12 = -\pi + 4 + 12 = 16 - \pi \).
• При \( x = 0 \): \( y = 4(0) - 4\tan(0) + 12 = 0 - 4(0) + 12 = 12 \).

Найдём значение \( \pi \) примерно: \( \pi \approx 3.14 \).

Тогда \( 16 - \pi \approx 16 - 3.14 = 12.86 \).

Сравнивая значения \( 12.86 \) и \( 12 \), наименьшим является \( 12 \).

Ответ: 12