1. Найдите значение выражения \(\left(5^{1+\sqrt{2}}\right)^{1-\sqrt{2}}\)

Решение:

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

\( \left(5^{1+\sqrt{2}}\right)^{1-\sqrt{2}} = 5^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} \)

В показателе степени находится разность квадратов: \( (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 \).

Таким образом, выражение равно:

\( 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

Ответ: \(\frac{1}{5}\).