12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: \(y = -x^3 - 4x^2 + 3x + 16\)

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума найдем первую производную функции.

1. Найдем производную \( y' \):
   \( y' = (-x^3 - 4x^2 + 3x + 16)' = -3x^2 - 8x + 3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( -3x^2 - 8x + 3 = 0 \)
   \( 3x^2 + 8x - 3 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 · 3 · (-3) = 64 + 36 = 100 \).
4. Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 · 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 · 3} = \frac{-18}{6} = -3 \)
5. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, \frac{1}{3}) \), \( (\frac{1}{3}, +\infty) \).
6. Возьмем тестовую точку из интервала \( (-\infty, -3) \), например \( x = -4 \):
   \( y'(-4) = -3(-4)^2 - 8(-4) + 3 = -3(16) + 32 + 3 = -48 + 32 + 3 = -13 < 0 \). Функция убывает.
7. Возьмем тестовую точку из интервала \( (-3, \frac{1}{3}) \), например \( x = 0 \):
   \( y'(0) = -3(0)^2 - 8(0) + 3 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
8. Возьмем тестовую точку из интервала \( (\frac{1}{3}, +\infty) \), например \( x = 1 \):
   \( y'(1) = -3(1)^2 - 8(1) + 3 = -3 - 8 + 3 = -8 < 0 \). Функция убывает.

Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на интервале \( (-3; \frac{1}{3}) \).
• Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -3) \) и \( (\frac{1}{3}; +\infty) \).

Точки экстремума:

• В точке \( x = -3 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка локального минимума.
• В точке \( x = \frac{1}{3} \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка локального максимума.

Ответ: Функция возрастает на \( (-3; \frac{1}{3}) \), убывает на \( (-\infty; -3) \) и \( (\frac{1}{3}; +\infty) \). Точка минимума \( x = -3 \), точка максимума \( x = \frac{1}{3} \).