8. Вычислите определенный интеграл: \(\int_1^2 (25x^4 - 2x + 1) dx\)

Решение:

Найдём первообразную для функции \( f(x) = 25x^4 - 2x + 1 \).

Первообразная \( F(x) = \frac{25x^{4+1}}{4+1} - \frac{2x^{1+1}}{1+1} + 1x + C = \frac{25x^5}{5} - \frac{2x^2}{2} + x + C = 5x^5 - x^2 + x + C \).

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_1^2 (25x^4 - 2x + 1) dx = [5x^5 - x^2 + x]_1^2 \)

\( = (5(2)^5 - (2)^2 + 2) - (5(1)^5 - (1)^2 + 1) \)

\( = (5 · 32 - 4 + 2) - (5 · 1 - 1 + 1) \)

\( = (160 - 4 + 2) - (5 - 1 + 1) \)

\( = (158) - (5) \)

\( = 153 \)

Ответ: 153.