7. Найдите производную: \(\left(x^4 \cdot e^x\right)\)

Решение:

Используем правило произведения для нахождения производной: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x^4 \) и \( v = e^x \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

\( u' = (x^4)' = 4x^3 \)

\( v' = (e^x)' = e^x \)

Теперь подставим в формулу:

\( \left(x^4 \cdot e^x\right)' = (4x^3)(e^x) + (x^4)(e^x) \)

Вынесем общий множитель \( x^3 e^x \):

\( = x^3 e^x (4 + x) \)

Ответ: \(x^3 e^x (4+x)\).