4. Найдите значение выражения \(\frac{24(\sin^2 170^\circ - \cos^2 170^\circ)}{\cos 340^\circ}\)

Решение:

Воспользуемся тригонометрическими формулами:

1. Формула косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \). Следовательно, \( \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -\cos(2\alpha) \).
2. Формула приведения: \( \cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha \).

Применим эти формулы к выражению:

В числителе: \( 24(\sin^2 170^\circ - \cos^2 170^\circ) = 24(-\cos(2 · 170^\circ)) = -24\cos(340^\circ) \).

В знаменателе: \( \cos 340^\circ \).

Таким образом, выражение принимает вид:

\( \frac{-24\cos 340^\circ}{\cos 340^\circ} \)

Сокращаем \( \cos 340^\circ \) (при условии, что \( \cos 340^\circ \neq 0 \), что верно).

\( -24 \)

Ответ: -24.