1. Решите уравнение: ctgx = -1.

Решение:

Уравнение \( \text{ctg}x = -1 \) решается с помощью значений тангенса и котангенса. Мы знаем, что \( \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} \).

Значение \( -1 \) котангенс принимает при \( x = \frac{3\pi}{4} \) и \( x = \frac{7\pi}{4} \) в пределах одного периода \( [0, 2\pi) \).

Общее решение уравнения \( \text{ctg}x = a \) имеет вид \( x = \text{arcctg}(a) + \pi n \), где \( n \) — целое число.

В нашем случае \( \text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4} \).

Следовательно, общее решение уравнения:

\[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).