8. Продукция распространяется на территории, площадь которой равна площади заштрихованной на рисунке фигуры. Определите площадь территории, на которой распространяется продукция. (1 кв. ед = 1 км²)

Решение:

Площадь заштрихованной фигуры на графике представляет собой площадь под кривой \( y = -x^2 + 2x + 1 \) на интервале от \( x=1 \) до \( x=2 \).

Чтобы найти эту площадь, необходимо вычислить определённый интеграл от функции \( f(x) = -x^2 + 2x + 1 \) в пределах от \( 1 \) до \( 2 \).

\[ \text{Площадь} = \int_{1}^{2} (-x^2 + 2x + 1)dx \]

Найдем первообразную функции \( -x^2 + 2x + 1 \):

\[ F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + x \]

Теперь вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

\[ \text{Площадь} = F(2) - F(1) \]\[ F(2) = -\frac{2^3}{3} + 2^2 + 2 = -\frac{8}{3} + 4 + 2 = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{-8 + 18}{3} = \frac{10}{3} \]\[ F(1) = -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 = -\frac{1}{3} + 1 + 1 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{-1 + 6}{3} = \frac{5}{3} \]\[ \text{Площадь} = \frac{10}{3} - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \]

Так как \( 1 \) кв. ед. = \( 1 \) км², то площадь равна \( \frac{5}{3} \) км².

Ответ: \( \frac{5}{3} \) км².