10. Крыша башни имеет вид правильной 4-угольной пирамиды, сторона её основания 3 м, а высота равна 2 м. Сколько оцинкованного железа потребуется для ремонта этой крыши, если на ремонт необходимо 30% площади поверхности крыши?

Решение:

Крыша башни — это правильная 4-угольная пирамида. Для ремонта требуется 30% площади её боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания пирамиды:

Основание — квадрат со стороной \( a = 3 \) м.

\[ S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9 \) м².

2. Найдем апофему пирамиды (высоту боковой грани):

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H = 2 \) м, половиной стороны основания \( \frac{a}{2} = \frac{3}{2} = 1,5 \) м, и апофемой \( l \).

По теореме Пифагора:

\[ l^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 \]\[ l^2 = 2^2 + (1,5)^2 = 4 + 2,25 = 6,25 \]\[ l = \(\sqrt{6,25}\) = 2,5 \) м.

3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

Периметр основания \( P = 4a = 4 \cdot 3 = 12 \) м.

\[ S_{бок} = \(\frac{1}{2}\) P \(\cdot\) l = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 12 \(\cdot\) 2,5 = 6 \(\cdot\) 2,5 = 15 \) м².

4. Рассчитаем необходимую площадь для ремонта:

Необходимо 30% от площади боковой поверхности:

\[ S_{ремонт} = 0,30 \(\cdot\) S_{бок} = 0,30 \(\cdot\) 15 = 4,5 \) м².

Ответ: 4,5 м².