3. Вычислите определённый интеграл \( \int_{0}^{1} (8x^3 - 4x + 10)dx \).

Решение:

Вычислим определённый интеграл, найдя первообразную подынтегральной функции и применив формулу Ньютона-Лейбница.

Первообразная для \( 8x^3 \) равна \( \frac{8x^{3+1}}{3+1} = \frac{8x^4}{4} = 2x^4 \).

Первообразная для \( -4x \) равна \( \frac{-4x^{1+1}}{1+1} = \frac{-4x^2}{2} = -2x^2 \).

Первообразная для \( 10 \) равна \( 10x \).

Итак, первообразная для \( 8x^3 - 4x + 10 \) есть \( F(x) = 2x^4 - 2x^2 + 10x \).

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \):

\[ \int_{0}^{1} (8x^3 - 4x + 10)dx = [2x^4 - 2x^2 + 10x]_{0}^{1} \]\[ = (2(1)^4 - 2(1)^2 + 10(1)) - (2(0)^4 - 2(0)^2 + 10(0)) \]\[ = (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 10) - (0 - 0 + 0) \]\[ = (2 - 2 + 10) - 0 \]\[ = 10 \]

Ответ: 10.