6. Решите неравенство: log<t>x</t> ≤ 0,5

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_x x \le 0,5 \) необходимо рассмотреть два случая, зависящих от основания логарифма \( x \).

Случай 1: Основание логарифма \( x > 1 \).

В этом случае при снятии логарифма знак неравенства сохраняется:

\[ x \le x^{0,5} \]\[ x \le \sqrt{x} \]

Перенесём всё в одну часть:

\[ x - \sqrt{x} \le 0 \]\[ \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \le 0 \]

Поскольку \( \sqrt{x} \ge 0 \) (так как \( x > 0 \) для существования логарифма), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы \( \sqrt{x} - 1 \le 0 \).

\[ \sqrt{x} \le 1 \]\[ x \le 1 \]

Учитывая условие \( x > 1 \), в этом случае решений нет.

Случай 2: Основание логарифма \( 0 < x < 1 \).

В этом случае при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный:

\[ x \ge x^{0,5} \]\[ x \ge \sqrt{x} \]

Перенесём всё в одну часть:

\[ x - \sqrt{x} \ge 0 \]\[ \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \ge 0 \]

Поскольку \( \sqrt{x} > 0 \) (так как \( x > 0 \)), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы \( \sqrt{x} - 1 \ge 0 \).

\[ \sqrt{x} \ge 1 \]\[ x \ge 1 \]

Учитывая условие \( 0 < x < 1 \), в этом случае решений нет.

Важно: в условии задачи, вероятно, была опечатка и имелось в виду \( \log_a x \le 0.5 \) где \( a \) — числовое основание, или \( \log_x y \le 0.5 \) где \( y \) — другое число. Если же неравенство записано именно так, как в условии, то формально, для \( x > 0 \) и \( x
e 1 \), где \( x \) является основанием логарифма, нет решений. При \( x=1 \) логарифм не определён. Если бы мы рассмотрели как \( \log_x x = 1 \) для \( x>0 \) и \( x
e 1 \), то \( 1 \le 0.5 \) — ложно.

Предполагая, что имелось в виду \( \log_a x \le 0,5 \) с числовым основанием \( a \) (например \( a=3 \) из примера 7), то решение будет другим. Если считать, что основание \( a \) = 3:

\[ \log_3 x \le 0,5 \]\[ x \le 3^{0,5} \]\[ x \le \sqrt{3} \]

Учитывая область определения логарифма \( x > 0 \), получаем \( 0 < x \le \sqrt{3} \).

Если задача сформулирована именно так:

Ответ: Решений нет.