9. Изменение цены на рынке описывается функцией f(x) = x³ - 3x+4. Определите промежутки монотонности функции.

Решение:

Чтобы найти промежутки монотонности функции \( f(x) = x^3 - 3x + 4 \), нам нужно найти её производную и определить знаки этой производной.

Найдем производную функции \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 4) \]\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 - 3 = 0 \]\[ 3x^2 = 3 \]\[ x^2 = 1 \]\[ x = \pm 1 \]

Критические точки \( x = -1 \) и \( x = 1 \) разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \) и \( (1, \infty) \).

Определим знак производной на каждом интервале:

• На интервале \( (-\infty, -1) \): Возьмем \( x = -2 \). \( f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 \). Знак \( + \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-1, 1) \): Возьмем \( x = 0 \). \( f'(0) = 3(0)^2 - 3 = 0 - 3 = -3 \). Знак \( - \). Функция убывает.
• На интервале \( (1, \infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 \). Знак \( + \). Функция возрастает.

Выводы:

• Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [1, \infty) \).
• Функция убывает на интервале \( [-1, 1] \).

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty, -1] \) и \( [1, \infty) \), убывает на \( [-1, 1] \).