1. Решите уравнение: log_2(x² - 14x) = 5

Решение:

1. ОДЗ (область допустимых значений):

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

\( x^2 - 14x > 0 \)

\( x(x - 14) > 0 \)

Это неравенство выполняется, когда \( x < 0 \) или \( x > 14 \).

2. Решаем уравнение, переходя от логарифмической формы к показательной:

\( \log_2(x^2 - 14x) = 5 \)

\( x^2 - 14x = 2^5 \)

\( x^2 - 14x = 32 \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 14x - 32 = 0 \)

3. Решаем квадратное уравнение:

Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

4. Проверим корни по ОДЗ:

Для \( x_1 = 16 \): \( 16 > 14 \). Корень подходит.

Для \( x_2 = -2 \): \( -2 < 0 \). Корень подходит.

Ответ: x = 16, x = -2.