2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти боковое ребро пирамиды и площадь боковой поверхности.

Решение:

Обозначим:

• \( H \) — высота пирамиды, \( H = \sqrt{6} \) см.
• \( L \) — боковое ребро пирамиды.
• \( \alpha = 60^{\circ} \) — угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
• \( a \) — сторона основания правильной четырехугольной пирамиды.
• \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности.

1. Найдём боковое ребро \( L \):

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к центру основания под заданным углом. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), боковым ребром \( L \) и проекцией бокового ребра на основание (это будет радиус описанной окружности вокруг квадрата основания, \( R \)).

В прямоугольном треугольнике:\ \( \cos \alpha = \frac{R}{L} \) и \( \tan \alpha = \frac{H}{R} \).

Из \( \tan \alpha = \frac{H}{R} \) найдём \( R \):

\( R = \frac{H}{\tan \alpha} = \frac{\sqrt{6}}{\tan 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} \) см.

Теперь найдём \( L \) из \( \cos \alpha = \frac{R}{L} \):

\( L = \frac{R}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{2}}{\cos 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{1/2} = 2\sqrt{2} \) см.

2. Найдём сторону основания \( a \):

Радиус описанной окружности квадрата \( R = \frac{a}{\sqrt{2}} \).

\( a = R \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \) см.

3. Найдём площадь боковой поверхности \( S_{бок} \):

Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырёх одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника \( S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{апот} \), где \( h_{апот} \) — апофема (высота боковой грани).

Найдём апофему \( h_{апот} \) по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды \( H \), радиусом вписанной окружности \( r \) (который равен половине стороны основания: \( r = a/2 = 2/2 = 1 \) см) и апофемой \( h_{апот} \) (гипотенуза):

\( h_{апот}^2 = H^2 + r^2 \)

\( h_{апот}^2 = (\sqrt{6})^2 + 1^2 = 6 + 1 = 7 \)

\( h_{апот} = \sqrt{7} \) см.

Площадь одного бокового треугольника:

\( S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{апот} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{7} = \sqrt{7} \) см².

Площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \sqrt{7} \) см².

Ответ: Боковое ребро пирамиды равно \( 2\sqrt{2} \) см, а площадь боковой поверхности равна \( 4\sqrt{7} \) см².