2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

а) Нахождение бокового ребра пирамиды:

1. Пусть высота пирамиды H = √6 см, угол наклона бокового ребра к плоскости основания α = 60°.
2. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной диагонали основания (d/2) и боковым ребром (l), имеем: cos(α) = (d/2) / l.
3. Так как основание - квадрат, диагональ d = a√2, где a - сторона основания. Тогда d/2 = a√2 / 2.
4. Из условия, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 60°, а высота равна √6. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом описанной окружности основания (R) и боковым ребром (l), имеем: cos(60°) = R / l.
5. Для правильной четырехугольной пирамиды R = d/2 = (a√2)/2. Высота H = √6.
6. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом описанной окружности основания (R) и боковым ребром (l), имеем: tg(60°) = H / R.
7. R = H / tg(60°) = √6 / √3 = √2 см.
8. Боковое ребро l = R / cos(60°) = √2 / (1/2) = 2√2 см.

б) Нахождение площади боковой поверхности пирамиды:

1. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна Sбок = 2 * a * h_а, где a - сторона основания, h_а - апофема.
2. Найдем сторону основания: R = (a√2)/2 => √2 = (a√2)/2 => a = 2 см.
3. Найдем апофему (h_а) по теореме Пифагора: h_а² = H² + (a/2)² = (√6)² + (2/2)² = 6 + 1 = 7. => h_а = √7 см.
4. Sбок = 2 * 2 * √7 = 4√7 см².