2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции: y = -x² + 16, y = 0

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \) и осью \( Ox \) (где \( y=0 \)), вычисляется с помощью определённого интеграла.

1. Найдем точки пересечения графика функции \( y = -x^2 + 16 \) с осью \( Ox \) (где \( y=0 \)):

\( -x^2 + 16 = 0 \)

\( x^2 = 16 \)

\( x = \pm 4 \)

Таким образом, график пересекает ось \( Ox \) в точках \( x = -4 \) и \( x = 4 \). График функции \( y = -x^2 + 16 \) — парабола, ветви которой направлены вниз, и она лежит выше оси \( Ox \) между точками пересечения.

2. Вычислим площадь фигуры с помощью определённого интеграла:

\( S = \int_{-4}^{4} (-x^2 + 16) dx \)

Найдём первообразную функции:

\( F(x) = -\frac{x^3}{3} + 16x \)

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( S = F(4) - F(-4) \)

\( F(4) = -\frac{4^3}{3} + 16 \cdot 4 = -\frac{64}{3} + 64 = \frac{-64 + 192}{3} = \frac{128}{3} \)

\( F(-4) = -\frac{(-4)^3}{3} + 16 \cdot (-4) = -\frac{-64}{3} - 64 = \frac{64}{3} - 64 = \frac{64 - 192}{3} = -\frac{128}{3} \)

\( S = \frac{128}{3} - (-\frac{128}{3}) = \frac{128}{3} + \frac{128}{3} = \frac{256}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{256}{3} \) квадратных единиц.