7. Вычислить: 1) 3^{-2} \(\cdot\) 81^{1/4} 2) \(1 \frac{1}{4}\)^{-\(\frac{1}{2}\)} \(\cdot\) 25^{1/2} 3) \(\log\)_3 6 + \(\log\)_3 \(\frac{3}{2}\)

Решение:

1. Вычисляем первое выражение:
   
   \( 3^{-2} \cdot 81^{1/4} \)
   
   Представим \( 81 \) как \( 3^4 \):
   
   \( 3^{-2} \cdot (3^4)^{1/4} = 3^{-2} \cdot 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^{-2} \cdot 3^1 \)
   
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
   
   \( 3^{-2+1} = 3^{-1} = \frac{1}{3} \)


2. Вычисляем второе выражение:
   
   \( (1 \frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{1/2} \)
   
   Представим смешанное число как неправильную дробь: \( 1 \frac{1}{4} = \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4} \)
   
   \( (\frac{5}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{1/2} \)
   
   \( (\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{25} \)
   
   \( \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} \cdot 5 = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 5 = \frac{10}{\sqrt{5}} \)
   
   Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \) для рационализации:
   
   \( \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \)


3. Вычисляем третье выражение:
   
   \( \log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2} \)
   
   Используем свойство логарифмов: \( \log_b x + \log_b y = \log_b (x \cdot y) \)
   
   \( \log_3 (6 \cdot \frac{3}{2}) \)
   
   \( \log_3 (\frac{18}{2}) \)
   
   \( \log_3 9 \)
   
   Так как \( 9 = 3^2 \), то:
   
   \( \log_3 3^2 = 2 \)

Ответ: 1) \( \frac{1}{3} \); 2) \( 2\sqrt{5} \); 3) 2.