4. Точка движется по закону S(t) = 6t³ + 2t² - 7. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 3c.

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от пути \( S(t) \):

\( v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(6t^3 + 2t^2 - 7) \)

\( v(t) = 18t^2 + 4t \)

Ускорение \( a(t) \) — это первая производная от скорости \( v(t) \) (или вторая производная от пути \( S(t) \)):

\( a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(18t^2 + 4t) \)

\( a(t) = 36t + 4 \)

Теперь найдём значения скорости и ускорения в момент времени \( t = 3 \) с:

Скорость:

\( v(3) = 18(3)^2 + 4(3) = 18 \cdot 9 + 12 = 162 + 12 = 174 \) м/с.

Ускорение:

\( a(3) = 36(3) + 4 = 108 + 4 = 112 \) м/с².

Ответ: Скорость v(3) = 174 м/с, ускорение a(3) = 112 м/с².