8. Найти интегралы: a) \( \int (x^3 - 6x^2) dx \) б) \( \int_0^1 \sqrt{x} dx \)

Решение:

1. а) Найдём неопределённый интеграл:
   
   \( \int (x^3 - 6x^2) dx \)
   
   Используем свойства интегралов: \( \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \) и \( \int k f(x) dx = k \int f(x) dx \), а также формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (для \( n \neq -1 \)).
   
   \( \int x^3 dx - 6 \int x^2 dx \)
   
   \( \frac{x^{3+1}}{3+1} - 6 \frac{x^{2+1}}{2+1} + C \)
   
   \( \frac{x^4}{4} - 6 \frac{x^3}{3} + C \)
   
   \( \frac{x^4}{4} - 2x^3 + C \)


2. б) Найдём определённый интеграл:
   
   \( \int_0^1 \sqrt{x} dx \)
   
   Представим \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \):
   
   \( \int_0^1 x^{1/2} dx \)
   
   Применим формулу интегрирования: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \).
   
   \( [\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}]_0^1 \)
   
   \( [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^1 \)
   
   \( [\frac{2}{3} x^{3/2}]_0^1 \)
   
   Теперь подставим пределы интегрирования:
   
   \( \frac{2}{3} (1)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} \)
   
   \( \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 \)
   
   \( \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3} \)

Ответ: а) \( \frac{x^4}{4} - 2x^3 + C \); б) \( \frac{2}{3} \).