1. В параллелограмме ABCD \(\angle A = 30^\circ\), AB = 2\sqrt{3}, BC = 5. Найти скалярное произведение векторов: a) \(\vec{AD} \cdot \vec{AB}\); б) \(\vec{BA} \cdot \vec{BC}\); в) \(\vec{AD} \cdot \vec{BH}\)

Давайте решим эту задачу пошагово. **а) \(\vec{AD} \cdot \vec{AB}\)** * В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AD = BC = 5. * Скалярное произведение двух векторов определяется как \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами. * В нашем случае, угол между векторами \(\vec{AD}\) и \(\vec{AB}\) равен \(\angle A = 30^\circ\). * Тогда, \(\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |AD| \cdot |AB| \cdot cos(30^\circ) = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = 15\). **б) \(\vec{BA} \cdot \vec{BC}\)** * Угол между векторами \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) равен углу \(\angle B\), который в параллелограмме равен \(180^\circ - \angle A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). * \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |BA| \cdot |BC| \cdot cos(150^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot cos(150^\circ)\). Поскольку \(cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), то \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 10\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -15\). **в) \(\vec{AD} \cdot \vec{BH}\)** * Вектор \(\vec{BH}\) - это высота, опущенная из вершины B на сторону AD. * Угол между AD и высотой BH составляет 90 градусов, значит cos(90) = 0. * Следовательно, \(\vec{AD} \cdot \vec{BH} = |AD| \cdot |BH| \cdot cos(90^\circ) = 5 \cdot |BH| \cdot 0 = 0\). **Ответ:** a) 15; б) -15; в) 0