1 вариант. 4. При каких значениях \(m\) и \(n\) многочлен \(x^3+mx+n\) делится без остатка на трехчлен \(x^2+3x+10\)?

При делении на \(x^2+3x+10\) используем равенство \(x^2=-3x-10\). Тогда \(x^3=x(-3x-10)=-3x^2-10x=-(x)+30\) после повторной подстановки.

Следовательно, остаток многочлена равен \((m-1)x+(n+30)\). Для делимости остаток должен быть нулевым: \(m-1=0\), \(n+30=0\).

Ответ: \(m=1,\ n=-30\).