2 вариант. 2. Многочлен \(P(x)\) при делении на \(x-1\), \(x+1\), \(x-2\) дает в остатке соответственно 4, 2, 8. Найдите остаток от деления \(P(x)\) на \(x^3-2x^2-x+2\).

Разложим делитель: \(x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x+1)(x-2)\). Искомый остаток имеет степень не выше второй. Обозначим его \(R(x)=ax^2+bx+c\).

По теореме об остатке: \(R(1)=4\), \(R(-1)=2\), \(R(2)=8\). Тогда \(a+b+c=4\), \(a-b+c=2\), \(4a+2b+c=8\). Решая систему, получаем \(a=1\), \(b=1\), \(c=2\).

Ответ: остаток \(x^2+x+2\).