1. Вычислить: а) \(\frac{6^5 \cdot 6^7}{6^{10}}\); б) \(\log_5 135 - \log_5 5,4\).

Решение:

1. а) Вычисление дроби:
   Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
   \[ \frac{6^5 \cdot 6^7}{6^{10}} = \frac{6^{5+7}}{6^{10}} = \frac{6^{12}}{6^{10}} = 6^{12-10} = 6^2 = 36 \]
2. б) Вычисление логарифмов:
   Используем свойство логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).
   \[ \log_5 135 - \log_5 5,4 = \log_5 \frac{135}{5,4} \]
   Выполним деление: \( \frac{135}{5,4} = \frac{1350}{54} \).
   Разделим 1350 на 54:
   \[ 1350 \div 54 = 25 \]
   Следовательно, \( \log_5 25 \).
   Так как \( 5^2 = 25 \), то \( \log_5 25 = 2 \).

Ответ: а) 36; б) 2.