№ 9 Найдите объём и площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг большего катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получается конус. Больший катет (8 см) будет высотой конуса (h), а меньший катет (6 см) — радиусом основания конуса (r).

1. Найдем объём конуса:

Объём конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

\( V = \frac{1}{3} \pi (6 \text{ см})^2 (8 \text{ см}) \)
\( V = \frac{1}{3} \pi (36 \text{ см}^2) (8 \text{ см}) \)
\( V = \frac{1}{3} \pi (288 \text{ см}^3) \)
\( V = 96 \pi \text{ см}^3 \)

2. Найдем площадь боковой поверхности конуса:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \( S_{бок} = \pi r l \), где \( l \) — образующая конуса.

Сначала найдем образующую (гипотенузу треугольника), используя теорему Пифагора:

\( l^2 = r^2 + h^2 \)
\( l^2 = 6^2 + 8^2 \)
\( l^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( l = \sqrt{100} = 10 \) см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = \pi \cdot 6 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 60 \pi \text{ см}^2 \)

Ответ: Объём конуса равен \(96\pi\) см³, площадь боковой поверхности равна \(60\pi\) см².