№ 7 Тело движется по прямой со скоростью, определяемой формулой \(V = t^3 - 3t + 4\) (м/с), где \(t\) — время в секундах. Какой путь пройдёт тело за 3 с от начала движения?

Решение:

Путь, пройденный телом, равен определённому интегралу от скорости по времени.

\( S = \int_{t_1}^{t_2} V(t) dt \)

В данном случае \(t_1 = 0\) с, \(t_2 = 3\) с, \(V(t) = t^3 - 3t + 4\).

\( S = \int_{0}^{3} (t^3 - 3t + 4) dt \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ \frac{t^{3+1}}{3+1} - \frac{3t^{1+1}}{1+1} + 4t \right]_{0}^{3} = \left[ \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} + 4t \right]_{0}^{3} \)

Подставим пределы интегрирования:

\( S = \left( \frac{3^4}{4} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 4 \cdot 0 \right) \)

\( S = \left( \frac{81}{4} - \frac{3 \cdot 9}{2} + 12 \right) - (0) \)

\( S = \frac{81}{4} - \frac{27}{2} + 12 \)

Приведем к общему знаменателю 4:

\( S = \frac{81}{4} - \frac{27 \cdot 2}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4} = \frac{81 - 54 + 48}{4} = \frac{27 + 48}{4} = \frac{75}{4} \)

\( S = 18,75 \) м.

Ответ: 18,75 м