№ 8 В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Высота призмы равна 3 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение:

Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} \), где \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности, \( S_{осн} \) — площадь основания.

1. Найдем площадь основания:

Основание — прямоугольный треугольник. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ см}^2 = 30 \text{ см}^2 \)

2. Найдем периметр основания:

Для этого сначала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

\( c^2 = a^2 + b^2 \)
\( c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)
\( c = \sqrt{169} = 13 \) см.

Периметр основания \( P_{осн} = 5 \text{ см} + 12 \text{ см} + 13 \text{ см} = 30 \text{ см} \).

3. Найдем площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

\( S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 30 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 90 \text{ см}^2 \)

4. Найдем площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 90 \text{ см}^2 + 2 \cdot 30 \text{ см}^2 = 90 \text{ см}^2 + 60 \text{ см}^2 = 150 \text{ см}^2 \)

Ответ: 150 см²