№ 5 Ученику предложили написать на доске любое натуральное число от 100 до 200. Найдите вероятность того, что среди цифр этого числа есть 3.

Решение:

1. Определим общее количество возможных исходов:
Натуральные числа от 100 до 200 — это числа от 100 до 199 включительно. Всего таких чисел \( 199 - 100 + 1 = 100 \).
Итак, общее количество исходов \( N = 100 \).

2. Определим количество благоприятных исходов:
Числа от 100 до 200, содержащие цифру 3. Рассмотрим числа в диапазоне [100, 199].
Эти числа имеют вид \(1XY\), где \(X\) и \(Y\) — цифры.
Случаи, когда цифра 3 присутствует:

• Цифра 3 на месте десятков: \(13Y\). \(Y\) может быть любой цифрой от 0 до 9. Получаем числа 130, 131, ..., 139. Всего 10 чисел.
• Цифра 3 на месте единиц: \(1X3\). \(X\) может быть любой цифрой от 0 до 9. Получаем числа 103, 113, ..., 193. Всего 10 чисел.
• Случай, когда цифра 3 встречается дважды: \(133\). Это число было учтено и в первом, и во втором случае.

Чтобы не считать число 133 дважды, используем принцип включения-исключения:
Количество чисел = (числа с 3 на месте десятков) + (числа с 3 на месте единиц) - (числа с 3 на обоих местах)
Количество чисел = 10 + 10 - 1 = 19.

Однако, есть еще число 200. В нем нет цифры 3.

Проверим числа от 100 до 200:
100-109: 103
110-119: 113
120-129: 123
130-139: 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139 (10 чисел)
140-149: 143
150-159: 153
160-169: 163
170-179: 173
180-189: 183
190-199: 193
Всего: 1+1+1+10+1+1+1+1+1+1 = 19 чисел.

Итак, количество благоприятных исходов \( n = 19 \).

3. Найдем вероятность:

\( P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{19}{100} \)

Ответ: \(\frac{19}{100}\)