№ 6 Составьте уравнение касательной к графику функции \(y = 2x^4 - x^2 + 4\) в точке \(x_0 = -1\).

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \(x_0\) имеет вид: \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\).

1. Найдем значение функции в точке \(x_0 = -1\):

\(f(-1) = 2(-1)^4 - (-1)^2 + 4 = 2(1) - 1 + 4 = 2 - 1 + 4 = 5\)

2. Найдем производную функции:

\(f'(x) = (2x^4 - x^2 + 4)' = 2 \cdot 4x^3 - 2x = 8x^3 - 2x\)

3. Найдем значение производной в точке \(x_0 = -1\):

\(f'(-1) = 8(-1)^3 - 2(-1) = 8(-1) + 2 = -8 + 2 = -6\)

4. Составим уравнение касательной:

\(y - 5 = -6(x - (-1))\)
\(y - 5 = -6(x + 1)\)
\(y - 5 = -6x - 6\)
\(y = -6x - 6 + 5\)
\(y = -6x - 1\)

Ответ: \(y = -6x - 1\)