№ 2 Решить уравнения: а) \(5^{4-x} = 25\); б) \(\log_{7}(x + 21) = 2\); в) \(\sqrt{x^2 - 8x - 4} = 4\); г) \(2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0\).

Решение:

1. а) Решение показательного уравнения:
   \(5^{4-x} = 25\)
   \(5^{4-x} = 5^2\)
   \(4-x = 2\)
   \(x = 4 - 2\)
   \(x = 2\)
2. б) Решение логарифмического уравнения:
   \(\log_{7}(x + 21) = 2\)
   \(x + 21 = 7^2\)
   \(x + 21 = 49\)
   \(x = 49 - 21\)
   \(x = 28\)
3. в) Решение иррационального уравнения:
   \(\sqrt{x^2 - 8x - 4} = 4\)
   Возведём обе части в квадрат:
   \(x^2 - 8x - 4 = 4^2\)
   \(x^2 - 8x - 4 = 16\)
   \(x^2 - 8x - 20 = 0\)
   Найдём дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \)
   \(x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}\)
   \(x_1 = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10\)
   \(x_2 = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
   Проверка: \(\sqrt{10^2 - 8 \cdot 10 - 4} = \sqrt{100 - 80 - 4} = \sqrt{16} = 4\). \(\sqrt{(-2)^2 - 8 \cdot (-2) - 4} = \sqrt{4 + 16 - 4} = \sqrt{16} = 4\).
4. г) Решение тригонометрического уравнения:
   \(2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0\)
   Сделаем замену \( t = \sin x \). Уравнение примет вид:
   \(2t^2 + 5t - 3 = 0\)
   Найдём дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)
   \(t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}\)
   \(t_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0,5\)
   \(t_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3\)
   Так как \( \sin x \) может принимать значения только от -1 до 1, \( \sin x = -3 \) решений не имеет.
   \(\sin x = 0,5\)
   \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \( k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: а) 2; б) 28; в) 10; -2; г) \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), \( k \in \mathbb{Z} \).