№ 10 Решите неравенство: \(\log_{0,2} (3x - 5) \geq \log_{0,2} (x + 1)\).

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

\(3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3}\)

\(x + 1 > 0 \implies x > -1\)

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \(x > \frac{5}{3}\).

2. Решим неравенство:

Так как основание логарифма \(0,2 < 1\), при переходе от логарифмического неравенства к алгебраическому, знак неравенства меняется на противоположный:

\(3x - 5 \leq x + 1\)

\(3x - x \leq 1 + 5\)
\(2x \leq 6\)
\(x \leq 3\)

3. Учтем ОДЗ:

Мы получили, что \(x \leq 3\) и \(x > \frac{5}{3}\). Объединяя эти условия, получаем:

\(\frac{5}{3} < x \leq 3\)

Ответ: \((\frac{5}{3}; 3]\)