№ 4 Вычислите угол между векторами \(\vec{a}\{1;-1; 2\}\) и \(\(\vec{b}\)\{-1;1;1\}.

Решение:

Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой косинуса угла между ними:

\(\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)

1. Найдем скалярное произведение векторов:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-1) + (-1)(1) + (2)(1) = -1 - 1 + 2 = 0\)

2. Найдем длины векторов:

\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\)

3. Вычислим косинус угла:

\(\cos \alpha = \frac{0}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = 0\)

4. Найдём угол:

Если \(\cos \alpha = 0\), то \(\alpha = 90^{\circ}\) (или \(\frac{\pi}{2}\) радиан).

Ответ: 90°